付款请求权（第一顺序权利）是持票人向汇票的承兑人、本票的出票人、支票的付款人出示票据要求付款的权利，因此甲公司行使的是付款请求权，选项A当选。票据当事人行使付款请求权遭到拒绝或有其他法定原因存在时，再行使票据追索权（第二顺序权利），选项C不当选。利益返还请求权适用于票据权利因时效届满消灭后向出票人/承兑人请求返还；票据返还请求权适用于票据丧失后请求返还，二者均非票据权利且本题情形不适用，故选项B、D亦不选。

【知识点拓展】

票据权利是持票人向票据债务人请求支付票据金额的权利，包括“付款请求权”和“追索权”。

选项D，持票人不能出示拒绝证明、退票理由书或者未按照规定期限提供其他合法证明的，丧失对其前手的追索权。但是，承兑人或者付款人仍应当对持票人承担责任。

【知识点拓展】

行使追索权：

① 取得证明 ：持票人行使追索权，应当提供被拒绝承兑或者拒绝付款的证明，持票人不能出示拒绝证明的，丧失对其“前手”的追索权 ；

② 通知前手 ：得到证明之日起 3 日内 ；

③ 未通知责任：未按照规定期限通知，仍可以行使追索权，但应当赔偿因为迟延通知而给前手或出票人造成的损失，赔偿金额以汇票金额为限。