选项A，用人单位自用工之日（2022年6月1日）起，即与劳动者建立劳动关系，“双方不存在劳动关系”表述错误；选项C，用人单位自用工之日起满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，自用工之日起满1年的当日（2023年6月1日）已经与劳动者订立无固定期限劳动合同，“2022年7月1日”表述错误。

本题考查用人单位因未按时订立劳动合同而向劳动者支付2倍工资的计算，需注意补偿期限、工资基数和设问方式。（1）补偿期限：自用工之日起满1个月的次日（2020年7月1日）至补订书面合同的前一日（2020年7月31日），共1个月。（2）工资基数：郑某按月领取工资3000元。（3）设问方式：本题所问为“补偿工资”，而非2倍工资总额。1倍补偿工资＝1个月×3000元＝3000（元）。

劳动合同仅约定试用期的，试用期不成立，该期限为劳动合同期限。

当事人在劳动合同或者保密协议中约定了竞业限制和经济补偿，劳动合同解除或者终止后，因用人单位的原因导致“3个月”未支付经济补偿，劳动者请求解除竞业限制约定的，人民法院应予支持。