选项A，用人单位自用工之日（2022年6月1日）起，即与劳动者建立劳动关系，“双方不存在劳动关系”表述错误；选项C，用人单位自用工之日起满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，自用工之日起满1年的当日（2023年6月1日）已经与劳动者订立无固定期限劳动合同，“2022年7月1日”表述错误。

选项A，劳动合同法明确规定，禁止用人单位对劳动合同“服务期”和“竞业限制”之外的其他事项与劳动者约定由劳动者承担违约金。本题未涉及服务期和竞业限制，因此不应支付违约金；选项B、C、D，劳动者单方解除劳动合同的，应提前30日以书面形式通知用人单位，且劳动者不能获得经济补偿。

劳动合同解除或终止后，用人单位和劳动者双方不再履行劳动合同，双方劳动关系消灭。用人单位应出具解除或终止劳动合同的证明（离职证明），并在“15日内”为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。

用人单位违反规定解除或终止劳动合同的，如果劳动者要求继续履行劳动合同，用人单位应当继续履行（选项C）；如果劳动者不要求继续履行或合同已经不能继续履行，用人单位应支付经济补偿标准2倍的赔偿金（选项D）。支付了赔偿金则不再支付经济补偿（选项A）。赔偿金的计算年限自用工之日起计算（选项B）。