劳动关系建立的时间只与“用工之日”有关，与是否签订书面劳动合同、书面劳动合同的签订时间、试用期满时间、发放第一笔工资的时间等均无关。

选项 A，用人单位自用工之日（2022 年 6 月 1 日）起，即与劳动者建立劳动关系，“双方不存在劳动关系”表述错误；选项 C，用人单位自用工之日起满 1 年未与劳动者订立书面劳动合同的，自用工之日起满 1 年的当日（2023 年 6 月 1 日）已经与劳动者订立无固定期限劳动合同，“2022 年 7 月1 日”表述错误。

用人单位与职工连续订立 2 次固定期限劳动合同，再次续订时，除劳动者存在胜任能力严重不足、有严重过错、被追究刑事责任等情形（过错程度较重）外，用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。选项 A、B、C、D 中所涉及的过错程度均较轻，因此甲公司应与之订立无固定期限劳动合同。

当事人在劳动合同或者保密协议中约定了竞业限制和经济补偿，劳动合同解除或者终止后，因用人单位的原因导致“3 个月”未支付经济补偿，劳动者请求解除竞业限制约定的，人民法院应予支持。